基于Backstepping的带推力矢量飞艇姿态控制系统设计

摘 要： 推力矢量控制技术可以有效地解决飞艇低速飞行时舵效不足的问题，但其具有很强的非线性特性，加之飞艇体积庞大，易受风干扰，所以经典的控制器难以满足要求。Backstepping是一种基于递推反演的非线性控制方法，特别适用于强非线性及存在不确定性的系统。针对飞艇的六自由度非线性模型，引入Backstepping方法对带推力矢量飞艇设计了姿态控制器并进行了仿真验证，结果表明所设计的非线性控制器具有良好的动态性，实现了对受扰系统的全局镇定和对给定偏航角的渐进跟踪。

关键词： Backstepping控制； 推力矢量； 风干扰； 姿态控制系统

中图分类号： TN911⁃34； V249.1 文献标识码： A 文章编号： 1004⁃373X（2014）02⁃0009⁃04

0 引 言

平流层飞艇是执行战场侦查、电子对抗、空中打击任务的有力武器平台。通过携带不同的任务载荷，可以完成空中预警、海岸侦查、边界监视、战场支持、巡航导弹探测、反潜、无线通信、电子干扰及电子对抗等多种作战任务。推力矢量控制技术大大提升了飞艇的机动能力、操纵效率，但具有很强的非线性特性，同时平流层飞艇在飞行过程中受到各种外部干扰的影响，例如风干扰、温度变化影响等，往往使飞艇偏离指定位置，因而设计出抗干扰能力强的鲁棒飞控系统是非常必要的[1]。

传统的反馈线性化方法有两个非常严重的缺陷：控制量可能会对消有用的系统非线性、应用需要严格的前提条件。Backstepping设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一中回归设计方法，它通过从系统的最低次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律[2]。Backstepping设计方法有两个主要优点：

（1） 它通过反向设计使系统的Lyapunov函数和控制器的设计过程系统化、结构化；

（2） 可以控制相对阶为n的非线性系统，消除了经典无源设计中相对阶为1的限制[3]。

本文将Backstepping理论结合具体飞艇对象推导出了带推力矢量飞艇的非线性控制律，并进行了全数字仿真，得到了满意的控制效果。

1 Backstepping理论

Backstepping方法，又称反步法、反演法或回退法，是国外近年来发展起来的一种新的非线性设计方法。该方法通常综合考虑控制律和自适应律，使得整个闭环系统满足期望的动静态性能。它的基本设计思想是：将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶次的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个系统，将它们集成起来完成整个控制律的设计。虚拟控制律保证内核系统的某种性能（如稳定性等），其过程是一种构造性的递归设计方法[4⁃6]。

考虑一个n阶的非线性系统：

[x1=x2+f1（x1）x2=x3+f2（x1，x2） ⋮xn=u+fn（x1，…，xn）y=x1] （1） 式中：[xi∈Rn，i=1，2，…，n]表示系统的状态，[u∈Rn]为控制输入量。[fi]是包含不确定参数化和非参数化的非线性部分光滑函数，[i=1，2，…，n]。

Backstepping设计就是视每一个子系统[xi=xi+1+fi（x1，…，xi）]中的[xi+1]为虚拟控制，并引入相应的误差变量[zi+1=xi+1-ρi（x1，x2，…，xi）]。其中[ρi（x1，x2，…，xi）]是待定的镇定函数，期望通过控制使得误差变量具有某种渐近特性，从而实现整个系统的渐近稳定。

以二阶系统[（n=2）]为例，Backstepping控制的设计步骤如下：

（1） 定义误差变量[z1=y-yr]，则它的动态方程为：

[z1=x2+f1（x1）-yr] （2） 式中[yr（t）]是参考信号，考虑上述方程，如果把[x2]看作是控制输入，则选择：

[x2=-c1z1-f1（x1）+yr] （3） 式中[c1>0]为设计参数，于是：

[z1=-c1z1] （4）

考虑Lyapunov函数：

[V1=12z12] （5） 则有：

[V1≤-c1z12] （6）

然而，由于[x2]不是控制输入，因此，在Backstepping设计中，把式（3）叫做虚拟控制（又叫稳定化函数），记为：

[ρ1=-c1z1-f1（x1）+yr] （7）

将式（2）代入式（7），于是得跟踪误差方程应为：

[z1=x2-ρ1-c1z1]（8）

Lyapunov函数[V1]的导数也应修正为：

[V1=-c1z12+z1（x2-ρ1）] （9）

（2） 定义误差变量[z2=x2-ρ1]，则：

[z2=u+f2（x1，x2）-∂ρ1∂x1（x2+f1（x1））-∂ρ1∂yryr-∂ρ1∂yryr] （10）

设计控制输入：

[u=-z1-c2z2-f2（x1，x2）+ρ1 =-z1-c2z2-f2（x1，x2）+∂ρ1∂x1（x2+f1（x1））+∂ρ1∂yryr+∂ρ1∂yryr] （11）

则有：

[z2=-z1-c2z2] （12）

考虑Lyapunov函数：

[V2=V1+12z22=12z12+12z22] （13）

则有：

[V2=-c1z12-c2z22] （14）

因此由Lyapunov稳定性理论，控制律式（11）保证了跟踪误差渐近收敛于零。Backstepping具有如下优点：通过反向设计使Lyapunov函数和控制器的设计过程结构化、系统化，在处理不确定性上具有较好的效果。控制器的设计能够较好地利用非线性系统中有用的非线性特性，使设计出的控制器满足系统性能要求。能够较为方便地同时设计控制器和随时更新自适应律。

2 带推力矢量飞艇的控制器设计

2.1 带推力矢量的飞艇模型

本文研究的某型带推力矢量飞艇可以作为刚体处理，在基于一定的假设前提下，在苏联坐标系下，建立飞艇的六自由度动力学方程。飞艇数学模型采用两台涵道螺旋桨发动机结构，分别位于飞艇吊舱两侧。飞艇模型及坐标系如图1所示。

飞艇的动力学方程[7]：

[My=Iyωy+（Ix-Iz）ωzωx-Ixyωx+ωyωz+ Ixz（ω2x-ω2z）+Iyzωxωy-ωz+ mzG（Vx+ωyVz-ωzVy）-mxG（Vz+ωxVy-ωyVx）]（15）

式中：[My]为绕y轴所受力矩总和；[ωx，y，z]为转动角速度；[Ix，y，z]为转动惯量；[Vx，y，z]为艇体系相对于惯性系的地速；[θ]，[γ]，[ψ]为飞艇姿态角；[α]为飞艇迎角；[β]为飞艇侧滑角。

根据飞艇所受力和力矩情况，可得横侧向的总力矩分别为[7]：

[My=MAy+MIy+MGy+MBy+MTy] （16）

其中各力矩定义如下：

流体惯性力力矩[7]：

[MIy=-m55ωy+（m33-m11）UxUz+（m66-m44）ωxωz] （17）

式中：[Ux，z]为艇体系相对惯性系的空速；[m11，33]为附加质量；[m44，55，66]为附加惯量矩。

重力力矩[7]：

[MGy=mg（-zGsinϑ-xGcosϑsinγ）] （18）

式中：[m]为飞艇质量；[g]为重力加速度；[xG]，[zG]为飞艇质心在x，z轴坐标。

空气动力力矩[7]：

[MAy=Q∇kmβyβ+mωxyωx+mωyyωy+kmδyyδy] （19）

式中：[∇]为飞艇体积。定义[Q=12ρU2；Cji，][mji（i=x，y，z，j=α，β，⋅⋅⋅，δz）]为气动导数；[MB]为浮力力矩。由于浮力直接作用于质心，作用于飞艇的力矩为0。

发动机推力力矩：

[MTy=T（xTsinδTy+zTcosδTycosδTz）] （20）

推力矢量纵向偏角[δTy]和横侧向偏角[δTz]如图2所示。正方向的定义见文献[7]。

2.2 基于Backstepping的姿态控制器设计

飞艇水平面的运动既包括前向运动，又包括侧向运动，但垂直方向的运动以及横滚、俯仰运动都不予考虑[8]。因而有如下简化条件：

[ωx=0， ωz=0， Vy=0， θ=0， ϕ=0 Ix=0， Iz=0， α=0] （21）

根据飞艇控制器设计要求，结合Backstepping方法控制推力矢量发动机偏角，稳定飞艇偏航角。根据式（1）和式（2），可得飞艇的横侧向运动方程，根据式（3），进行横侧向条件化简可得：

[ψ=ωyωy=-mIy+m55xGVz+-mIy+m55zGωyVz+MAy+MGy+MTyIy+m55y=ψ] （22）

对比式（1），可将其视为如下形式：

[x1=x2x2=f（x）+bu+d（x，t）y=x1] （23）

式中：[x=[x1，x2]T]为系统状态矢量；[f（x）]为已知函数；控制变量[b]是时变的且为依赖于[x]的一个已知连续函数；[d（x，t）]为时变的外部干扰不确定项，且满足不等式[d（x，t）≤ξ]；[ξ]为未知常数。可得[x1=ψ，x2=ωy]为系统状态矢量。

对比式（1）和式（11），可得输入u的控制律为：

[u=-1b（x）[k2z2+f（x）+z1-ρ（x1）]] （24）

为了消除式（2）中的不确定干扰项[d（x，t）]，提高控制器跟踪误差跟踪的收敛性和控制器的鲁棒性，本文根据非线性阻尼引理[8]，在控制器设计中引入非线性阻尼项，则重新定义控制律u为：

[u=-1b（x）[（k2+η）z2+f（x）+z1-ρ（x1）]] （25）

式中：[η]为应用非线性阻尼引理后所增加的控制器设计参数，其值为大于零的正数。

式（22）为飞艇系统纵向被控方程，根据第2.1节设计步骤推导出期望推力矢量力矩：

[MTy=（Iy+m55）（-（k4+τ）z2-z1+ρ（ψ））+ mxGVz+mzGωyVz-MAy-MGy] （26）

由发动机推力力矩公式可得：

[MTy=2Tx2T+z2Tcos（δTy-A2）] （27）

由式（21）和式（22）可得期望推力矢量偏角：

[δTy=arccosMTy2Tx2T+z2T+A2] （28）

[δTy]要求在[-90°]～90°之间变化，现在[δTy]通过转换以后是在[0°]～180°。推力矢量偏角为正时，飞艇产生低头力矩，否则产生抬头力矩，因此当[z1>0]时，需要的[δTy]>0；相反[z1]<0时[9]，[δTy]<0。则得到：

[sign（δTy）=sign（z1）=sign（Δϑ）] （29）

针对推力矢量发动机偏转会影响飞行速度，采用PID方法以飞艇速度为反馈量，控制推力发动机的油门开度。飞艇横侧向控制采用推力矢量偏角和发动机油门双环控制结构，如图3所示。

3 仿真研究

为了验证本文中所提出飞艇飞行控制方法的有效性，将所设计的Backstepping控制律应用于带风干扰的推力矢量飞艇非线性数学模型中，通过控制左、右推力矢量发动机水平方向偏角稳定飞艇偏航角，控制发动机油门开度控制飞艇飞行速度。飞艇初始速度为20 m/s，初始高度为3 000 m，初始偏航角为0°，给定常值风，水平向右风速为5 m/s，指定期望偏航角为0°，按式（28）设计姿态控制器。选取Backstepping控制器的控制参数为：[k1]=0.37，[k2]=0.28，[η]=0.13。Matlab软件仿真结果如图4、图5所示。

由仿真结果可以看出，在风干扰的情况下，飞艇速度仍然能够基本保持在20 m/s，飞艇偏航角也能够达到跟踪值，而且调节时间较短，其他指标均能稳定在规定范围内，取得了满意的控制效果。

4 结 论

根据Backstepping理论推导出了使闭环系统具有Lyapunov稳定性的推力矢量飞艇非线性控制律，并在Matlab下进行了全数字仿真，结果表明在风干扰，通过推力矢量偏角变化可以快速稳定飞艇姿态，使飞艇偏航角能够跟踪指令值，很好地达到了设计要求。Backstepping控制与传统的针对非线性系统的控制方法相比，具有不需要精确数学模型、克服非线性影响、易于工程实现等优点，进一步提高了飞艇飞行控制的鲁棒性和精确性。

参考文献

[1] 冯星，邹杰，陈谋，等.基于自适应Backstepping方法的无人飞艇纵向受限控制[J].江苏大学学报，2011（5）：552⁃556.

[2] 刘志成，朱铁夫，郁万鹏.基于Backstepping理论的直接自适应飞行控制[J].飞机设计，2009，29（6）：1001⁃1004.

[3] 王莉，王庆林.Backstepping设计方法及应用[J].自动化博览，2004（6）：57⁃61.

[4] 陈为胜，李俊民.非线性系统智能Backstepping控制与分析[D].西安：西安电子科技大学，2007.

[5] 胡云安，晋玉强，李海燕.非线性系统鲁棒自应反演控制[M].北京：电子工业出版社，2010.

[6] 董龙德，陈澜.基于Backstepping的飞行控制系统设计[J].计算机技术与发展，2012，22（5）：57⁃61.

[7] 邓永亮，吴梅.平流层飞艇自修复飞行控制律研究[D].西安：西北工业大学，2012.

[8] 李家宁，徐波.平流层飞艇定点技术研究[D].南京：南京航空航天大学，2009.

[9] BATTIPEDE M， GILI P， LANDO M. Ground station and flight simulator for a remotely⁃piloted non conventional airship，AIAA 2005⁃6201 [R]. USA： AIAA， 2005.

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