高考统计知识点总结

　第二章：统计 1、抽样方法：

　①简单随机抽样（总体个数较少）

　②系统抽样（总体个数较多）

　③分层抽样（总体中差异明显）

　注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。

　2、总体分布的估计：

　⑴一表二图：

　①频率分布表——数据详实

　 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

　 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。

　⑵茎叶图：

　①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

　②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

　3、总体特征数的估计：

　⑴平均数：nx x x xxn   3 2 1； 取值为nx x x , , ,2 1 的频率分别为np p p , , ,2 1 ，则其平均数为n n px p x p x    2 2 1 1；

　 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

　⑵方差与标准差：一组样本数据nx x x , , ,2 1 方差：212) (1 niix xns ；标准差：21) (1 niix xns

　注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

　平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

　⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

　 ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：

　a bx y  （最小二乘法）

　1221ni iiniix y nxybx nxa y bx   注意：线性回归直线经过定点 ) , ( y x 。

　第三章：概率 1、随机事件及其概率：

　⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件 A 的概率：

　1 ) ( 0 , ) (    A PnmA P . 2、古典概型：

　⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：

　①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。

　⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A 发生的概率nmA P  ) ( . 3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。

　⑵几何概型概率计算公式：的测度的测度DdA P  ) ( ； 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

　4、互斥事件：

　⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件； ⑵如果事件nA A A , , ,2 1 任意两个都是互斥事件，则称事件nA A A , , ,2 1 彼此互斥。

　⑶如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和， 即：

　) ( ) ( ) ( B P A P B A P   

　⑷如果事件nA A A , , ,2 1 彼此互斥，则有：

　) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P         

　⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

　①事件 A 的对立事件记作 A

　 ) ( 1 ) ( , 1 ) ( ) ( A P A P A P A P    

　②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

　1、基本概念 ⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A B C 、 、 ，其中任何两个都是互斥事件，则说事件 A B C 、 、 彼此互斥. 当 A B 、 是互斥事件时，那么事件 A B  发生（即 A B 、 中有一个发生）的概率，等于事件 A B 、 分别发生的概率的和，即

　( ) ( ) ( ) P A B P A P B    . ⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件 A 的对立事件通常记着 A .对立事件的概率和等于1. ( ) 1 ( ) P A P A   .

　特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此， 对立事 件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件. ⑶相互独立事件：事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，（ 即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件. 当 A B 、 是相互独立事件时，那么事件 A B  发生（即 A B 、 同时发生）的概率，等于事件 A B 、 分别发生的概率的积.即

　 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B    .

　若 A、B 两事件相互独立，则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验

　①一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p ，那么在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率

　   ( ) ( 1 ) 0 , 1 2 , . ,k k n kn nP k n k C p p  

　⑸ 条件概率：

　：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.公式：( )( ) , ( ) 0.( )P ABP B A P AP A 

　2 2 、离散型随机变量

　⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆

　随机变量常用字母 , , , X Y   等表示.

　⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若 X 是随机变量， ( , Y aX b a b   是常数）则 Y 也是随机变量奎屯王新敞新疆

　并且不改变其属性（离散型、连续型）. 3 3、 、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布（分布列）

　设离散型随机变量 X 可能取的不同值为1 2, x x ，…，ix ，…，nx ， X 的每一个值ix （ 1,2, , i n   ）的概率 ( )i iP X x p   ，则称表 X 1x 2x … ix … nx P

　1p 2p … ip … np 为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列. 性质：① 0, 1,2,... ;ip i n  

　 ②11.niip ⑵两点分布

　 如果随机变量 X 的分布列为

　 则称 X 服从 两点分布，并称 ( 1) p P X   为成功概率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 ( ) (1 ) .k k n knP X k C p p  

　其中 0,1,2,..., , 1 k n q p    ，于是得到随机变量 X 的概率分布如下：

　X

　0 1 … k … n P

　0 0 nnC p q

　1 1 1 nnC p q … k k n knC p q … 0 n nnC p q

　我们称这样的随机变量 X 服从 二项分布，记作   p n B X , ~ ，并称 p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：

　①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一； ②重复性：即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注：⑴ 二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是 , , . p k n

　 ⑷超几何分布

　一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件    X k   发生的概率为 ( ) ( 0,1,2, , )k n kM N MnNC CP X k k mC     ,于是得到随机变量 X 的概率分布如下：

　X

　0 1 P

　1 p 

　p

　 其中     min , m M n   ,*, , , , n N M N n M N N   ≤ ≤ . 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从 超几何分布. . 注:⑴ 超几何分布的模型是不放回抽样；

　⑵ 超几何分布中的参数是 , , . M N n 其意义分别是

　总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4 4 、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值

　一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X 1x 2x … ix … nx P

　1p 2p … ip … np 则称  1 1 2 2 i i n nE X x p x p x p x p       为离散型随机变量 X 的 均值或数学期望（简称期望）.它 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平.

　性质：① ( ) ( ) . E aX b aE X b   

　 ②若 X 服从两点分布，则 ( ) . E X p 

　③若   p n B X , ~ ，则 ( ) . E X np 

　⑵离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X 1x 2x … ix … nx P

　1p 2p … ip … np 则称 21( ) ( ( ))ni iiD X x E X p 为离散型随机变量 X 的 方差，并称其算术平方根 ( ) D X 为随机变量 X 的 标准差. 它反映了离散型随机变量取值的 稳定与波动，集中与离散 的程度.

　( ) D X 越小， X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中； ( ) D X 越大， X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散 . 性质：①2( ) ( ). D aX b a D X  

　②若 X 服从两点分布，则 ( ) (1 ). D X p P  

　③若   p n B X , ~ ，则 ( ) (1 ). D X np P  

　5 5、 、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式：

　  R x e x fx,21222  ，其中   , 是参数，且X

　0 1 … m

　 P

　0 0 nM N MnNC CC 1 1 nM N MnNC CC

　… m n mM N MnNC CC

　       , 0 .记作2( , ). N   如下图：

　专题八：统计案例

　1、回归分析 回归直线方程 bx a y   ˆ ， 其中   1 122 21 1n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nxa y bx         相关系数：     12 21 1ni iin ni ii ix x y yrx x y y     12 2 2 21 1ni iin ni ii ix y nxyx nx y ny          2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的值域分另为{x 1 , x 2 }和{y 1 , y 2 }，其样本频数 2  2 列联表为：

　y 1

　y 2

　总计 x 1

　a b a+b x 2

　c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d

　 若要推断的论述为 H 1 ：“X 与 Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法是，由表中的数据算出随机变量2K 的值22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d   ，其中n a b c d     为样本容量，K2 的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。

　23.841 K  时，X X 与 与 Y Y 无关；23.841 K  时，X X 与 与 Y Y 有 有 95% 可能性有关；26.635 K  时 时 X X 与 与 Y Y 有 有 99%可能性有关. .

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