行列式理论应用

　行列式理论的应用 班级

　数学 1103

　学号姓名

　张冰清 内容摘要 ：行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具.本文主要从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用。行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法.行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用.

　关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组 正文部分 导言 ：行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题.时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用.行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分. 本文主要研究行列式理论的总体概况，整理了行列式的定义、性质，并举例说明了行列式性质在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论的应用.例如线性方程组（见文[1]-[5]）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文[2])、初等代数（见文[9]）、解析几何（见文[6]-[8]）、 n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用. 具体内容部分 1、行列式的概念及性质 1.1 行列式的定义 以下给出给出行列式的两种定义 方式一：对任何 n

　阶方阵   nija A  ，其行列式记为nija A 

　    nnnp pnp ppp p p tnija a a a2 1212 1p21 A ，

　 （1）

　其中np p 2 1p 是数组 1，2，…， n

　的全排列，  表示对关于这些全排列的项(共有 ! n

　项)全体求和.

　方法二：行列式记作  （或  det ，它是关于方阵的一种算式，满足下列三个公理：

　公理 1：数 a 的行列式，等于其自身，即 a a  或 a a  det ，其中 a 是数（为了不与绝对值相混淆，数 a 的行列式一般避免写成 a ）； 公理2：分块三角形矩阵的行列式，等于其主对角线上各个子块的行列式之积.即有 其中 A 与 B 均是方阵； 公理：两个同阶方阵的乘积的行列式，等于这两个方阵各自行列式之积，即 B A AB  或   AB det ＝ detA detB ，其中 A 与 B 是阶数相同的方阵 将矩阵 A 做行列式计算的结果，称为 A 的行列式，简称为行列式.关于矩阵的若干名称，也相应地用于行列式. 1.2行列式计算的相关性质 性质1.行列互换，行列式不变.即 性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立.

　性质2.对换行列式两行的位置，行列式反号.

　性质3.若行列式有两行相同,则行列式等于0. 性质4.以一数乘行列式的一行,等于乘行列式，或者说一行的公因式可以提出去.即 推论1.若行列式某行（列）元素都是0,则行列式等于0. 由性质4和性质3又可得到: 推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0. 性质5.行列式具有分行相加性.即：

　 nn n nn nna a ac b c b c ba a a     2 12 2 1 11 12 11   =nn n nnna a ab b ba a a     2 12 11 12 11+nn n nnna a ac c ca a a     2 12 11 12 11 性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变. 2、行列式计算的应用 例1.解方程

　解：由行列式性质可得， 42 x 或 19 32  x .解一元2次方程可得，4 , 2     x x .另根据行列式的定义观察行列式中 x 的最高次幂是4次（切系数不为零）可原得原方程有4个根，即 4 , 2     x x . 例2.计算 n 阶行列式 解：利用行列式性质可知当na a a x , , ,3 2  时   0  x D ，即na a a x , , ,3 2  是方程   0  x D 的根. 再根据行列式的定义观察出行列式中的最高次幂是 1  n 次并且系数是1,可判断出方程   0  x D 的根就是na a a x , , ,3 2  ，在利用   x D 中主对角线上元素之积系数为1a 可知   x D =     na x a x a x a    3 2 1. 例3.我们称下面的行列式式为范德蒙行列式  nx x x , , , D2 1 =1 1312112 2322213 21 1 1 1    nnn n nnnx x x xx x x xx x x x     将  nx x x , , , D2 1 中   n i x i , , 2 , 1   不加区别看作   x D ，那么   0  x D 就是一个   2 1  n n 次的方程，利用行列式的性质可观察出   n j i x xj i, , 2 , 1 ,    时范德蒙行列式的值为零.不妨称是方程   0  x D 的根,或者说  nx x x , , , D2 1 中含有 j ix x  的因子,利用排列原理知至少有   2 1  n n 个根也即至少有   2 1  n n 个 j ix x  的因子. 事实上行列式  nx x x , , , D2 1 中j ix x , 是对等的,我们根据行列式的定义略去j ix x , 之间 i , j 的区别,含有ix 的最高次数(或各ix 的各幂数之和)为   2 1  n n ,即至多有   2 1  n n 个根或至多有   2 1  n n 个因子;再利用主对角线上元素之积的系数为1可知 2.2行列式在多项式理论中的应用 例1.证明一个 n 次多项式至多有 n 个互异根.

　证明：

　 nn xa x a x a a x f      22 1 0有 1  n 个互异的零点1 2 1, , , nx x x  ，则有   022 i 1 0     ni n ix a x a x a a x f  ，1 1 i    n

　 即 这个关于na a a , , ,1 0 的齐次线性方程组的系数行列式 因此 02 1 0    na a a a  .，这个矛盾表明   x f 有 n 个互异根. 2.3在线性变换理论中的应用 例1.设数域 F 上的 n 维向量 V 的线性变换  有 n 个互异的特征值n 2 1   ， ， ，  则 1）与  可交换的 V 的线性变换都是1 2, , , , ne     的线性组合，这里 e 为恒等变换； 2）

　      1 2, , , , ,  n 线性无关的充要条件为niia1 ，这里  i i i     ， n i , , 2 , 1   .

　证明：1）设  是与  可交换的线性变换，且  i i i     ， n i , , 2 , 1   ，则   F k   \ ki是  的不变子空间则由以下方程组.令  i i i     ， n i , , 2 , 1  

　则有以下方程组

　 .            1 22 2 112 122 2 2 1 211 121 2 1 1 1nn n nnnnnx x x x kx x x x kx x x x k     

　 （1）

　因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且     n i jj i1D   ，所以方程组（1）有唯一解，故  是      1 2, , , , ne  线性组合. 2）充分性 因为niia1 ，所以 并且 所以 是可逆矩阵，又因为n 2 1   ， ， ，  是 V 的一组基，      1 2, , , n 线性无关.

　3）必要性 设ne e e , , ,2 1 是分别属于n   , , ,2 1 的特征向量，则ne e e , , ,2 1 构成 V 的一个基，因而有n n ek e k e k     2 1 11  .若 n i k i , , 2 , 1 , 0    则i i ek 是  的属于i 的特征向量，故结论成立.若存在   n j , , 2 , 1   ，使 0 ik ，不妨设rk k k , , ,2 1 全不为零，而 01   n rk k  ，因而有r r ek e k e k     2 2 1 1 .则              rnn r rnne e ek kk kk k ke e e , , ,kk2 11n r12 2 2 2 211 1 1 1 1n 2 11 - n          ， ， ， ， ， ，利用范德蒙行列式可知 A 有一个 r 阶子式不为零，所以秩   r   ，从而      r      1 - n， ， ，  ，又因为 n r  线性无关，所以          1 - n， ， ，   线性无关，矛盾.从而niia1 ，这里  i i i     ， n i , , 2 , 1   . 3 3 、行列式在线性方程组中的一个应用

　 设含有 n 个变元的 1  n 个一次线性方程组为            . 0, 0, 0, 1 2 2 , 1 1 1 , 12 2 22 1 211 2 12 2 11n n n n nn nn nx a x a x ax a x a x ax a x a x a       

　 （1）

　 设方程组（1）的系数矩阵 A 的秩是 1  n , 不失一般性, 假定不等于零的 1  n阶行列式是

　 n n n nnna a aa a aa a aA, 1 3 , 1 2 , 12 23 221 13 121     .

　 行列式1A 中的元素, 就是矩阵 A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.

　 我们把nx x x , , ,3 2 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得 11Axdxii

　 ) , , 3 , 2 ( n i  

　 （2）

　式中id 是行列式1d 的第 1  i 列元素换以1 , 1 21 11, , , na a a  所成的行列式. 也就是

　n n i n n i n n nn i in i iia a a a a aa a a a a aa a a a a ad, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 3 , 1 2 , 12 1 , 2 21 1 , 2 23 221 1 , 1 11 1 , 1 13 12                 . 把id 中第 1  i 列移到第一列, 得 n n i n i n n nn i in i iiia a a a aa a a a aa a a a ad, 1 1 , 1 1 , 1 2 , 1 1 , 12 1 , 2 1 , 2 22 211 1 , 1 1 , 1 12 112) 1 (                . 上式右边的行列式用iA 表示, 行列式iA 是矩阵 A 中去掉第 i 列剩余下的元素所组成. 故 iiiA d2) 1 (  . 代入（2）式, 得 112) 1 ( AxAxiii, 或111) 1 ( AxAxiii. 结论[2] : 方程组（1）中的nx x x , , ,2 1 与nnA A A A13 2 1) 1 ( , , , ,   成比例, 式中iA) , , 2 , 1 ( n i  

　是从矩阵 A 中去掉第 i 列剩余下的元素做成的行列式.

　4 4 、行列式在初等代数中的几个应用 4 4 .1 用行列式分解因式 利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明. 例 4 4 .1.1 分解因式：3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2b ac c ba a cb b ca a bc c ab      .

　解

　2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) abc bc b c a c ac ab a b       原式

　( )( )( ) abc a b c a b c     . 4 4 .2

　用行列式证明不等式和恒等式 我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式. 例 4.2.1 1 已知 0    c b a , 求证 abc c b a 33 3 3   . 证明 令 abc c b a D 33 3 3    , 则

　00 0 03 2 1        a c bb a ca c bb a cc b a c b a c b aa c bb a cc b aDr r r. 命题得证. 例 4.2.2

　已知 , 1 , 1 , 1       ay cx cy bx by ax

　求证2 2 2c b a ca bc ab      . 证明 令 ) (2 2 2c b a ca bc ab D       , 则 命题得证. 5 5 、行列式在解析几何中的几个应用 5 5 .1 用行列式表示公式 5.1.1 用行列式表示三角形面积 以平面内三点 ) , ( ), , ( ), , (3 3 2 2 1 1y x R y x Q y x P 为顶点的 PQR  的面积 S 是 111213 32 21 1y xy xy x

　(3) 的绝对值. 证明 将平面 ) , ( ), , ( ), , (3 3 2 2 1 1y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为 1 1 2 2 3 3( , , ),( , , ),( , , ) x y k x y k x y k , 其中 k 为任意常数. 由此可得：

　2 1 2 1( , ,0) PQ x x y y    , 3 1 3 1( , ,0) PR x x y y   

　则 PQR  面积为

　 =12PQ PR 22 1 2 13 1 3 112x x y yx x y y  

　 1 12 23 311121x yx yx y

　. 5 5 .1.2 用行列式表示直线方程 直线方程通过两点 ) , (1 1y x P 和 ) , (2 2y x Q 的直线 PQ 的方程为

　01112 21 1y xy xy x.

　（4）

　 证明 由两点式, 我们得直线 PQ 的方程为 2 122 12y yy yx xx x. 将上式展开并化简, 得 此式可进一步变形为 此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 5 5 .1. 3 应用举例 例 若直线 l 过平面上两个不同的已知点1 1( , ) x y  , 2 2( , ) x y , 求直线方程. 解 设直线 l 的方程为 0    c by ax , 不全为 0, 因为点 ) , ( ), , (2 2 1 1y x y x   在直线 l 上, 则必须满足上述方程, 从而有 这是一个以 c b a , , 为未知量的齐次线性方程组, 且 c b a , , 不全为 0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于 0, 即 01112 21 1y xy xy x. 则所求直线 l 的方程为 01112 21 1y xy xy x. 同理, 若空间上有三个不同的已知点 ) , , ( ), , , ( ), , , (3 3 3 2 2 2 1 1 1z y x C z y x z y x   , 平面 S 过 C , ,   , 则平面 S 的方程为 011113 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y xz y x. 同理, 若平面有三个不同的已知点 ) , ( ), , ( ), , (3 3 2 2 1 1y x C y x y x   , 圆 O 过C , ,  , 则圆 O 的方程为

　011113 323232 222221 121212 2y x y xy x y xy x y xy x y x. 6 6 、行列式在平面几何中的一些应用 6.1 三线共点

　平面内三条互不平行的直线 . 0, 0, 03 3 3 32 2 2 21 1 1 1      c y b x a Lc y b x a Lc y b x a L相交于一点的充要条件是 03 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a. 6 6 .2 三点共线

　 平面内三点 ) , ( ), , ( ), , (3 3 2 2 1 1y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是01113 32 21 1y xy xy x. 6 6 .3 应用举例 例 平面上给出三条不重合的直线: 0003 3 3 32 2 2 21 1 1 1      c y b x a Lc y b x a Lc y b x a L, 若 03 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a, 则这三条直线不能组成三角形. 证明 设1L 与2L 的交点为 ) , (1 1y x P , 因为 1 1 12 2 23 3 30a b ca b ca b c , 将第 1 列乘上1x , 第 2 列乘上1y , 全加到第 3 列上去, 可得：

　1 1 1 1 1 1 12 2 2 1 2 1 23 3 3 1 3 1 30a b a x b y ca b a x b y ca b a x b y c    . 因为 P 在1L 与2L 上, 所以1 1 1 1 10 a x b y c   , 且

　若1 11 112 2 2 20a b a bLa b a b    与2L 平行, 若 P c y b x a     03 1 3 1 3也在3L 上3 2 1, , L L L  交于一点,无论何种情形, 都有3 2 1, , L L L 不组成三角形. 这说明由 03 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形. 7 7 、行列式在三维空间中的应用 7. 1 平面组

　 设由 n 个平面方程构成的方程组为          . 0, 0, 02 2 2 21 1 1 1n n n nd z c y b x ad z c y b x ad z c y b x a    

　 （5）

　 若方程组(5)中的 z y x , , 各代以tztytx, , , 并用 ) 0 (  t t 乘以(5)式两端: 得          . 0, 0, 02 2 2 21 1 1 1t d z c y b x at d z c y b x at d z c y b x an n n n    

　 （6）

　) , , , ( t z y x 叫做点 ) , , ( z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵 n n nc b ac b ac b aA  2 2 21 1 1 及 n n n nd c b ad c b ad c b aB   2 2 2 21 1 1 1 的秩 ) (A r 及 ) (B r 有关系. 现在分别叙述如下：

　 (Ⅰ)当 0 ) ( ) (   B r A r , 则方程组中各系数全是 0.

　 (Ⅱ)当 , 1 ) ( , 0 ) (   B r A r

　则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解 0  t .当0  t ,tx,ty, tz将趋近于无穷大（假设 t 趋近于 0）. 在这种情况下, 我们说这 n个平面在无穷远重合.

　 (Ⅲ)当 1 ) ( ) (   B r A r , 则在矩阵 A 及 B 中所有二阶行列式全是 0. 所以我们有

　以上等式表示 n 个平面相合成一个平面 01 1 1 1    d z c y b x a .

　 (Ⅳ)当 , 2 ) ( , 1 ) (   B r A r

　方程的系数中至少有两组数如i i i id c b a , , , 及j j j jd c b a , , , 满足以下关系式 上式表示平面 平行但不相合. 也就是平面组中 n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.

　 (Ⅴ) , 2 ) ( , 2 ) (   B r A r

　则矩阵 A 及 B 中所有三阶行列式全是 0, 至少有一个二阶行列式不是 0. 假设 02 21 1b ab a. 我们必可求得i i in m l , , 适合下式：

　式中 0 in , 否则行列式 将等于 0. 所以   ) ( ) (12 2 2 2 1 1 1 1d z c y b x a m d z c y b x a lnt d z c y b x ai iii i i i            . 以上等式表示平面 经过直线 就是 n 个平面全经过一条直线.

　（Ⅵ）当 , 3 ) ( , 2 ) (   B r A r

　并假定 方程组的系数至少有一组i i i id c b a , , , 适合以下关系：

　0 , 02 2 21 1 12 2 21 1 1 i i i i i ic b ac b ac b ac b ac b ac b a（ i 是 n , , 4 , 3  中的一数）

　以上第一个等式表示组中第 i 平面 0    i i i id z c y b x a , 与直线 平行. 又因第二个不等式表示第 i 平面不经过上述直线, 所以 n 个平面有平行的交线.例如由方程组 解得

　3 3 32 2 21 1 13 3 32 2 21 1 13 3 32 2 21 1 13 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b atb a db a db a dza d ca d ca d cyd c bd c bd c bx  . 因为行列式 03 32 2 21 1 1c b ac b ac b a. 而其它三个行列式不全是零故 0  t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.

　（Ⅶ）当 3 ) ( , 3 ) (   B r A r , 并假定 03 3 32 2 21 1 1c b ac b ac b a. 在这种情况下, 平面 相交于一点. 又因 03 3 3 32 2 2 21 1 1 1i i i id c b ad c b ad c b ad c b a,（ n i , , 5 , 4   ）

　故平面 经过前面三个平面的交点, 就是 n 个平面有一个交点, 不在无穷远.

　（Ⅷ）当 4 ) ( , 3 ) (   B r A r , 则矩阵 B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设 03 3 3 32 2 2 21 1 1 1i i i id c b ad c b ad c b ad c b a.（ i 是 n , , 5 , 4  中的一数）

　以上不等式表示平面 0    i i i id z c y b x a , 不经过前三个平面的交点. 结论 ：本文收集并整理了行列式的两种常见定义、基本性质，然后重点讨论了行列式在解方程组，空间几何理论，多项式理论，线性变换理论等中的应用. 也研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.在以后的研究和讨论中可以更加深入的探讨行列式理论的应用，多进行这方面的研究和发现。

　参考文献 [1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003. [2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.

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