2010年《概率论与数理统计》试卷A答案
0 2010 年《概率论与数理统计》试卷 A A （参考答案）
一、单项选择题（3 ×5=15 分）
1 、设随机事件 , A B 满足 ( ) 1 P A B , 则(
C
). (A) , A B 互为对立事件
(B) , A B 互不相容
(C) A B 不一定为必然事件
(D) A B 一定为必然事件 2 、设随机变量2~ ( , ) X N , 其中 ，2 均未知, 1 2, X X 是来自总体的一个样本 本, 则能作为统计量的是(
A
). (A) 21X
(B) 1 2X X
(C) 1 2X X
(D) 1/ 2X 3 、设1 2( ), ( ) F x F x 是随机变量的分布函数，1 2( ), ( ) f x f x 是相应的概率密度，则(
B
).
(A) 1 2( ) ( ) F x F x 是分布函数
(B) 1 2( ) ( ) F x F x 是分布函数 (C) 1 2( ) ( ) f x f x 是概率密度
(D) 1 2( ) ( ) f x f x 是概率密度 4 、矩估计法是用来进行 (
C
) 的.
(A) 极大似然估计
(B) 区间估计
(C) 点估计
(D)
U 估计 5 、设随机变量 , X Y 相互独立，若 1 DX ， ， 2 DY ，则 ( ) D X Y =(
D
). (A) 1
(B) 1
(C) 2
(D) 3
二、填空题（3 ×5=15 分）
6 、 已知 2 EX ， 1 DX ， 2 EY ， 4 DY ， ( ) 2 E XY ，则XY
3
. 7 、设随机变量 X 服从均匀分布 ( , ) U a b ，则 DX 2( )12b a . 8 、设随机变量 , X Y 相互独立, 其分布函数分别为 ( )XF x 和 ( )YF y , 则 则 max( , ) X Y的分布函数max ( )F z 为 为 ( ) ( )X YF z F z . 9 、设总体2~ ( , ) X N ,1 2, , ,nX X X 是来自总体的一个样本, 未知, 则 则2 的置信度为 1 的双侧置信区间是 2 22 22 21( 1) ( 1),( 1) ( 1)n S n Sn n .
10. 已知0.05 (8,15)2.64 F 则0.95 (15,8)F
0.379
.
三、解答题( 本题共 5 小题, 满分 70 分) 11 、（20 分）从 1,2, ,9 中任意抽取一个数字，然后放回，先后取出五个数字，求下列事件的概率， （ （1）
）1A “最后取出的数字是奇数”； （ （2）
）2A “五个数字全不相同”； （ （3）
）3A “ “1 恰好出现两次”； （ （4）
）4A “ “1 至少出现两次”. 解
由于是可放回的抽取，所以基本事件的总数为59 9 9 9 9 9 。
（2 分）
（1）
因为最后一个数字是奇数有 5 种，所以1A 中包含的样本点数为49 5 ，于是41 59 5 5( ) 0.5569 9P A 。
（4 分）
（2）
因为五个数字全不相同，相当于九取五作排列，所以2A 中包含的样本点数为59P ，于是592 5 59 8 7 6 5( ) 0.2569 9PP A 。
（4 分）
（3）
1 恰好出现两次，是五次中的任意两次，所以有25C 种选择，而其余三次每次 有 八 种 选 择 ， 所 以3A 中 包 含 的 样 本 点 数 为2 358 C ， 于 是2 353 58( ) 0.08679CP A 。
（4 分）
（4）不出现 1 的情形有58 种，1 出现一次的情形有1 458 C 种，于是5 1 454 4 58 8( ) 1 ( ) 1 0.09839CP A P A 。
（6 分）
12 、（15 分）设二维随机向量 ( , ) X Y 的概率分布密度为 (2 ), 2 6,0 5( , )0, 其它A x y x yf x y
(1) 确定常数 A ； ；
(2) 求边缘密度函数 ( )Xf x 和 ( )Yf x ； ；
(3) 判断 X 与 Y 是否相互独立. 解
(1) 由联合分布密度的性质， ( , ) 1 f x y dxdy ，所以 6 52 01 ( , ) (2 ) 210 f x y dxdy A x y dy dx A ，于是1210A 。
（4 分）
(2) 由边缘分布密度的计算公式，得 4 5, 2 6( ) ( , ) 840,Xxxf x f x y dy 其它，
（4 分）
Y2 16, 0 5( ) ( , ) 1050,yyf y f x y dx 其它。
（4 分）
(3) Y(4 5)( 8), 2 6,0 5( ) ( ) 44100,Xx yx yf x f y 其它, 显然， ( ) ( ) ( , )X Yf x f y f x y ，所以 X 与 Y 不相互独立。
（3 分）
13 、（11 分）设总体 X 服从参数为 p 的两点分布，其中 0 p 是未知参数。1 2, , ,nX X X 是来自总体的一个样本，求参数 p 的极大似然估计量. 解
因为总体 X 服从参数为 p 的两点分布，所以 X 的分布律为0 11Xp p , 设样本观测值为1 2, , ,nx x x ，则似然函数为11( ) (1 )i inx xiL p p p ， 于是 1ln ( ) ln (1 )ln(1 )ni iiL p x p x p ，11ln ( )1ni iix x dL pdp p p ， 令该导数为 0，得对数似然方程 1 1 11 1ln ( ) 01 1 1n n ni i i ii i ix x x x d nx n nxL pdp p p p p p p ， 求解即得极大似然估计值11ˆniip x xn 与之相应的极大似然估计量为11ˆniip X Xn 。
14 、(12 分) 某厂生产一种产品，由经验知产品长度2( , ) X N ，现随机抽取六个，观测值为：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32 (1) 试估计总体均值 ； ；
(2) 若已知20.05 ，求总体均值 为 的置信度为 0.95 的置信区间. 附：
0.02 0.025 0.0 5 251.96, (7) 2.364, (8) 2.306 u t t 。
解
(1)
由矩估计法，可得
（2 分）
ˆ x =(14.70+15.21+14.90+14.91+15.32+15.32)/6=15.06
（2 分）
(2)
由题意，用 U 估计法，
（2 分）
6 n ，20.0251.96 u u ， 15.06 x ， 0.05 ，
（2 分）
代入，得 的置信度为 0.95 的置信区间为 2 2, 14.88,15.24 x u x un n
（4 分）
15 、（12 分）
设过去存储罐爆破压力2(549, ) X N 取 ，现从某一批新品中抽取 5个进行检测，观测值为：545 ，545 ，530 ，550 ，545 ，问新品平均爆破压力与过去相比有无显著差别？ ( 0.1)
附：
2 20.05 0.05 0.05 0.025(4) 9.49, (5) 11.07, (4) 2.13, (4) 2.78 t t
解
由题意， 254 , 9 X N ，0549 ， 未知， 5 n
提出假设 0 0: H ，
1 0: H
（2 分）
根据题意，选择 T 检验法，由观测值计算，得
（2 分）
543 x , 2 27.58 S ,00543 5491.777.585xTSn ，
（2 分）
又 20.05( 1) (4) 2.13 t n t ，所以 201.77 ( 1) 2.13 T t n ，
（2 分）
从而接受0H ，即 新品平均爆破压力在显著性水平 0.1 下 与过去相比无显著差别。
（4 分）
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