概率统计冲刺讲义
2010 年 年 导航领航 考研 数学 冲刺班 讲义
概率统计
邓泽华
编讲
一、填空题分析
填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性 。
1.（04-1-3-4）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X DX
.【1e，概率计算】
2.（04-3）设总体21~ ( , ) X N ，总体22~ ( , ) Y N ，11 2, , ,nX X X 和21 2, , ,nY Y Y 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则1 22 21 11 2( ) ( )2n ni ii iX X Y YEn n
. 【2 ，数字特征】
3.（06-1-3-4）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0,3] 上的均匀分布，则 max , 1 P X Y
.【19，概率计算】
4.（05-1-3-4）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X ，再从 X , , 1 中任取一个数，记为 Y ，则 } 2 {Y P
.【1348，概率计算】
5.（05-1-3-4）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布为 X Y
0 1 0 0.4 a
1 b
0.1
若随机事件 0 X 与 1 X Y 相互独立，则 a
， b
.【0.4，0.1，确定常数】
6.（06-3）设总体 X 的概率密度为1( ) e2xf x ，（ x ），1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2ES
.【2，数字特征】
7.（07-1-3-4）在区间 (0,1) 中随机地取两个数，则这两个数的差的绝对值小于12的概率为
.【34，概率计算】
8.（08-1-3-4）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 2P X EX
. 【12e，概率计算】
9.（08-n）设1 2 3 4, , , X X X X 为来自正态总体 (2,4) N 的简单随机样本，则2( ) E X
. 【 5 ，数字特征】
10.（09-1）设1 2, , ,mX X X 为来自二项分布总体的简单随机样本，若2X kS 为2np 的无偏估计量，则 k
. 【 1 ，数字特征】
11.（09-3）设1 2, , ,mX X X 为来自二项分布总体的简单随机样本，记统计量2T X S ，则 ET
. 【2np ，数字特征】
12.（09-n）设总体 X 的概率密度1( , ) e ,2xf x x ，其中参数 ( 0) 未知，若1 2, , ,mX X X 是来自总体 X 的简单随机样本，11ˆ1niiXn是 的估计量，则ˆ E
. 【1nn，数字特征】
二、选择题分析
解选择题的方法有 ⑴直接法；⑵间接法 （排）
除法、特例法等）
； ⑶数形结合法。考点涉及概念、理论、方法和运算 。
1.（06-1-4）设 A ， B 为随机事件，且 ( ) 0 P B ， ( ) 1 P A B ，则必有（
）.【C，概率公式】
（A）
( ) ( ) P A B P A （B）
( ) ( ) P A B P B
（C）
( ) ( ) P A B P A （D）
( ) ( ) P A B P B
2. （04-1-3-4）设随机变量 X 服从正态分布 (0,1) N ，对给定的 (0,1) ，数 u 满足 P X u ，若 P X x ，则 x 等于（
）.【B，正态概率】
（A）2u （B）12u （C）12u（D）1u 3. (06-1-3-4)设随机变量 X ～21 1( , ) N ， Y ～22 2( , ) N ，且 1 2{ 1} { 1} P X P Y ，则必有（
）. 【A，正态概率】
（A）1 2 （B）1 2 （C）1 2 （D）1 2
4.（04-4）设随机变量1 2, , , ( 1)nX X X n 独立同分布，且其方差为20 . 令11niiY Xn，则（
）.【C，数字特征】
（A）212( )nD X Yn （B）211( )nD X Yn
（C）21( , ) Cov X Yn
（D）21( , ) Cov X Y
5.（05-4）设1 2, , , ,nX X X 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为 的指数分布，则（
）.【C，中心极限定理】
（A）1lim ( )niinX nP x xn （B）1lim ( )niinX nP x xn （C）1lim ( )niinX nP x xn （D）1lim ( )niinXP x xn 6.（05-1）设1 ,, ( 2)nX X n 为来自总体 (0,1) N 的简单随机样本，则（
）.【D，抽样分布】
（A）
~ (0,1) nX N （B）2 2~ ( ) nS n （C）
(1)~ ( 1)n Xt nS （D）2122( 1)~ (1, 1)niin XF nX 7.（05-3）设一批零件的长度服从正态分布2( , ) N ，其中参数2, 未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 20 x （cm），样本标准差 1 s (cm)，则 的置信度为 0.90 的置信区间是（
）.
【C，置信区间】
(A)0.05 0.051 1(20 (16),20 (16))4 4t t
(B)0.1 0.11 1(20 (16),20 (16))4 4t t
(C)0.05 0.051 1(20 (15),20 (15))4 4t t
(D)0.1 0.11 1(20 (15),20 (15))4 4t t
8.（07-1-3-4）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 (0 1) p p ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（）. 【C，概率计算】
（A）23 (1 ) p p （B）26 (1 ) p p （C）2 23 (1 ) p p （D）2 26 (1 ) p p
9.（07-1-3-4）设 ( , ) X Y 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， ( )Xf x ， ( )Yf y 分别为 X ，Y 的概率密度，则在 Y y 的条件下， X 的条件概率密度 ( )X Yf x y （）. 【A，条件密度】
（A）
( )Xf x （B）
( )Yf y （C）
( ) ( )X Yf x f y （D）( )( )XYf xf y
10. （08-1-3-4）设随机变量 , X Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 ( ) F x ，则 max , Z XY 的分布函数为（）.【A，函数的分布】
（A）2 ( )F x
（B）
( ) ( ) F x F y
（C）21 [1 ( )] F x （D）
[1 ( )][1 ( )] F x F y
11.（08-1-3-4）设随机变量 ~ (0,1) X N ， ~ (1,4) Y N ，且相关系数 1XY ，则（）.【D，相关系数】
（A）
2 1 1 P Y X （B）
2 1 1 P Y X
（C）
2 1 1 P Y X （D）
2 1 1 P Y X
12.（08-n）设1 2 3, , A A A 为 3 个随机事件，下列结论中正确的是（）.【A，独立性】
（A）若1 2 3, , A A A 相互独立，则1 2 3, , A A A 两两独立
（B）若1 2 3, , A A A 两两独立，则1 2 3, , A A A 相互独立 （C）若1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) P A A A P A P A P A ，则1 2 3, , A A A 相互独立 （D）若1A 与2A 独立，2A 与3A 独立，则1A 与3A 独立 13.（08-n）设随机变量 X 服从参数为 , n p 的二项分布，则（）.【D，数字特征】
（A）
(2 1) 2 E X np
（B）
(2 1) 4 E X np
（C）
(2 1) 2 (1 ) D X np p （D）
(2 1) 4 (1 ) D X np p
14.（09-1-n）.设随机变量 X 的分布函数为1( ) 0.3 ( ) 0.7 ( )2xF x x ，则 EX （）.【C，数字特征】
（A）
0
（B）
0.3
（C）
0.7
（D）
1
15.（09-1-3）.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 (0,1) N ， Y 的概率分布为 10 12P Y P Y ，记 ( )ZF z 为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 ( )ZF z 的间断点的个数为（）.【B，函数的分布】
（A）
0 （B）
1 （C）
2 （D）
3
16.（09-3-n）事件 A 与 B 互不相容，则（）.【D，概率公式】
（A）
( ) 0 P AB
（B）
( ) ( ) ( ) P AB P A P B
（C）
( ) 1 ( ) P A P B
（D）
( ) 1 P A B
三、解答题分析
（一）考点分析 近三年的考点分布情况如下：
数学一 07 年
已知二维随机变量密度求概率与函数的密度、已知总体密度求参数矩估计与统计量的无偏性 08 年
已知独立和边缘求条件概率与函数的密度、已知总体密度求统计量期望与方差 09 年
摸球问题中的条件概率与联合分布、已知总体密度求参数矩估计和最大似然估计 数学三 07 年
与数学一相同 08 年
与数学一相同 09 年
与数学一相同、已知二维随机变量密度求条件密度与条件概率 数学农科 08 年
已知随机变量密度和期望求常数与分布函数、已知二维离散随机变量的联合分布求边缘分布与概率 09 年
已知随机变量密度和函数期望求常数与概率、已知离散随机变量 X 与 Y 的概率分 布及 P X Y 求联合分布与相关系数 （二）综合举例 例 例 1
甲乙两人进行乒乓球单打比赛，甲每局获胜的概率为 0.6 ，比赛采用五局三胜制. ⑴求甲获胜的概率； ⑵已知甲获胜，求甲是 3:0 获胜的概率. 解
【二项分布、独立性、条件概率】
⑴甲获胜的概率为 3 2 2 2 2 23 43:0 3:1 3:2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6 0.68256 P P P C C ； ⑵ A 表示“甲获胜”， B 表示“甲是 3:0 获胜”
( ) ( ) 0.216( ) 0.31646( ) ( ) 0.68256P AB P BP B AP A P A .
例 例 2
在电源电压不超过 200 V， 200~ 240 V 和超过 240 V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为 0.1 ， 0.001 和 0.2 ，设电源电压2~ (220,25 ) X N ，已知 (0.8) 0.788 ，求 ⑴该电子元件损坏的概率 ； ⑵该电子元件损坏时，电源电压在 200~ 240 V 的概率 . 解 解
【正态分布、全概率公式、贝叶斯公式】
2~ (220,25 ) X N ， 200 220200 ( ) ( 0.8) 1 (0.8) 0.21225P X ， 240 220 200 220200 240 ( ) ( ) (0.8) ( 0.8) 0.57625 25P X ， 240 220240 1 ( ) 1 (0.8) 0.21225P X
⑴设 A “电子元件损坏”，由全概率公式，得 ( ) 200 200 200 240 200 240 P A P X P A X P X P A X
240 240 0.0642 P X P A X ； ⑵由贝叶斯公式，得 200 240 200 2400.009( )P X P A XP A . 例 3
设 随 机 变 量 X 的 分 布 密 度 为, 0 2,( ) ,2 4,0, ,ax xf x bx c xelse 且 2 EX ， 31 34P X ，求：⑴常数 , , a b c ；⑵分布函数 ( ) F x ；⑶随机变量 e X Y 的期望与方差.
解 解
【一维随机变量分布与数字特征】
⑴由分布密度的性质 ( ) 1 f x dx，得2 40 21 ( ) 2 6 2 axdx bx c dx a b c , 2 42 20 28 562 ( ) 63 3EX ax dx bx cx dx a b c ， 2 31 23 3 51 3 ( )4 2 2P X axdx bx c dx a b c ， 解得1 1, , 14 4a b c . ⑵ X 的取值范围为 (0,4) ， ( ) F x P X x
当 0 x 时， ( ) 0 F x ；当 4 x 时， ( ) 1 F x ； 当 0 4 x 时， ( ) ( )xF x f x dx ， 当 0 2 x 时，201( )4 8xxF x xdx ，
当 2 4 x 时，220 21 1( ) ( 1) 14 4 8xxF x xdx x dx x . ⑶2 42 20 21 1 1e e ( 1)e (e 1)4 4 4X x xEY E x dx x dx ， 2 42 2 2 2 4 20 21 1 1e e ( 1)e (e 1)4 4 16X x xEY E x dx x dx ， 2 2 2 2 21( ) e (e 1)4DY EY EY .
例 例 4
设盒内有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球，从中无放回地抽取 3 个，设 X 为抽到的红球总数， Y 为第三次抽到的红球数. ⑴求 ( , ) X Y 的概率分布；⑵求 ( , ) Cov X Y ，问 X 和 Y 是否独立？
解
【二维离散随机变量概率分布与数字特征】
⑴ X 的可能值为 0，1，2； Y 的可能值为 0，1， 3 2 10, 0 0.15 4 3P X Y ， 0, 1 0 P X Y ， 2 3 2 3 2 21, 0 0.45 4 3P X Y ， 3 2 21, 1 0.25 4 3P X Y ， 2 1 32, 0 0.15 4 3P X Y ， 3 2 1 2 3 12, 1 0.25 4 3P X Y ( , ) X Y 的概率分布为0 10 0.1 00.4 0.2 10.1 0.2 2X Y . ⑵ ( , ) Cov X Y EXY EXEY ， X 的概率分布为0 1 20.1 0.6 0.3 ， 0.6 0.6 1.2 EX ， Y 的概率分布为0 10.6 0.4 ， 0.4 EY ， XY 的概率分布为0 1 20.6 0.2 0.2 ， 0.2 0.4 0.6 EXY ，
( , ) 0.12 Cov X Y EXY EXEY ， X 和 Y 不独立. 例 例 5
设随机变量 U 服从 [0 12] ， 上的均匀分布，令随机变量1,3 6,0, ,UXelse 1,2 4,0, ,UYelse 求：
⑴ ( , ) X Y 的概率分布； ⑵在 0.5 Y 条件下， X 的条件分布； ⑶ X 与 Y 的相关系数. 解
【二维离散随机变量的概率分布、条件分布、相关系数】
⑴ X 的概率分布为0 13/4 1/4 ， Y 的概率分布为0 15/6 1/6 ( , ) X Y 的概率分布为0 10 2/3 1/121 1/6 1/12X Y ， 其中 20, 0 (3,6), (2,4)3P X Y P U U ， 10, 1 (3,6), (2,4)12P X Y P U U ， 11, 0 (3,6), (2,4)6P X Y P U U ， 11, 1 (3,6), (2,4)12P X Y P U U
⑵ 0, 0 2/3 40 0.50 5/6 5P X YP X YP Y ， 1, 0 1/6 11 0.50 5/6 5P X YP X YP Y ， 故在 0.5 Y 条件下， X 的条件分布为0 14/5 1/5 ⑶ X 与 Y 的相关系数( , )XYCov X YDX DY ， ( , ) Cov X Y EXY EXEY ，14EX ，16EY ， XY 的概率分布为0 111/12 1/12 ，112EXY ，1( , )24Cov X Y EXY EXEY . 又2 21 1 3( )4 16 16DX EX EX ，2 21 1 5( )6 36 36DY EY EY ， 故( , ) 115XYCov X YDX DY .
例 例 6
设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 ) , ( y x f( ),0 1,0,c x y y xelse ⑴求常数 c ；
⑵求关于 Y X, 的边缘分布密度并判断 X 和 Y 是否独立； ⑶求 (0 1) X x x 时 Y 的条件分布密度；
⑷求 1 P X Y ； ⑸求112P X Y X 和112P X Y X ； ⑹求 Z X Y 的分布密度. 解 解
【二维连续随机变量的基本问题：确定常数、边缘密度、条件密度、概率计算、条件概率计算、分布函数】
⑴由密度的性质10 0( , ) 1 ( ) 1 2xf x y dxdy dx c x y dy c . ⑵ X 的取值范围为 [0,1] ， 当 0 1 x 时，20( ) ( , ) 2( ) 3xXf x f x y dy x y dy x ， 所以关于 X 的边缘分布密度23 ,0 1,( )0, .Xx xf xelse 类似可得关于 X 的边缘分布密度21 2 3 ,0 1,( )0, .Yy y yf yelse 由于 ( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y ，故 X 和 Y 不独立. ⑶ (0 1) X x x 时 Y 的条件分布密度 22( ),0 , ( , )( ) 3( )0, .Y XXx yy x f x yf y x xf xelse ⑷ 1120111 ( , ) 2( )3yyx yP X Y f x y dxdy dy x y dx . ⑸11,212( , )11,1 211 2( , )2x y xxf x y dxdyP X Y XP X Y Xf x y dxdyP X 11201,1 11, ( , ) 2( )2 3yyx yP X Y X f x y dxdy dy x y dx 问：如何求 ) , ( Y X 的联合分布函数 ( , ) F x y ？
例 例 7
随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 服从 [0,1] 上的均匀分布， Y 服从参数为 1 的指数分布.
⑴求 2 Z X Y 的概率密度函数；⑵求 EZ ， DZ ；⑶求 ( , ) Cov Y Z . 解 解 【二维随机变量函数的概率分布、数字特征】
⑴ X 服从 [0,1] 上的均匀分布，密度为1, [0,1],( )0, [0,1],Xxf xx Y 服从参数为 1 的指数分布，密度为, 0,( )0, 0.yYe yf yy 随机变量 X 和 Y 相互独立，故 ) , ( Y X 的概率密度 ,0 1, 0,( , ) ( ) ( )0, ,yX Ye x yf x y f x f yelse X 的取值范围为 [0,1] ， Y 的取值范围为 (0, ) ， 2 Z X Y 的取值范围为 (0, ) . 2 Z X Y 的分布函数 ( )ZF z P Z z ， 当 0 z 时， ( ) 0ZF z ， 当 0 z 时， ( ) 2ZF z P Z z P X Y z 2( , )yx y z Df x y dxdy e dxdy ， 其中 D 为积分域 2x y z 与密度 ( , ) f x y 的非零区域的交集. 当 0 2 z 时， 2 222 2 20 0 0 0 01( ) e e (1 e ) ( e 1)2z z zz x z xy y x z zZF z dx dy dx dx z ， 当 2 z 时， 1 2 1 1 22 20 0 0 0 01( ) e (1 e ) 1 (e 1)e2z x z xy y x z zZF z dx e dy dx dx . 故 Z 的概率密度20, 0,1( ) ( ) (1 ),0 2,21( 1) , 2.2zZ Zzzf z F z e ze e z ⑵12EX ，112DX ， 1 EY ， 1 DY ， (2 ) 2 2 EZ E X Y EX EY ， 又 X 和 Y 相互独立，故443DZ DX DY
⑶由 X 和 Y 相互独立知， ( , ) 0 Cov X Y ， 故 ( , ) ( ,2 ) 2 ( , ) ( , ) 0 1 Cov Y Z Cov Y X Y Cov Y X Cov Y Y DY . 例 例 8 假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布. ⑴当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作.求电路正常工作时间 T的概率分布.；
⑵当三个元件中有一个无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作.求电路正常工作时间 T 的概率分布 解
设三个电子元件无故障工作时间分别为1 2 3, , X X X ，则它们相互独立，且都服从参数为 的指数分布，分布函数为1 e , 0,( )0, 0.xxF xx ⑴电路正常工作时间 1 2 3min , , T X X X ，其取值范围为 (0, ) ， 分布函数 ( )TF t P T t ， 0 t 时， ( ) 0TF t ， 0 t 时， 1 2 3( ) min , ,TF t P T t P X X X t 1 2 3 1 2 31 min , , 1 , , P X X X t P X t X t X t 3 31 2 31 1 [1 ( )] 1tP X t P X t P X t F t e ，
故电路正常工作时间 T 的分布函数31 e , 0,( )0, 0.tTtF tt ⑵电路正常工作时间 1 2 3max , , T X X X ，其取值范围为 (0, ) ， 分布函数 ( )TF t P T t ， 0 t 时， ( ) 0TF t ， 0 t 时， 1 2 3( ) max , ,TF t P T t P X X X t
1 2 3P X t P X t P X t 3 3( ) (1 )tF t e ，
故电路正常工作时间 T 的分布函数3 3(1 e ) , 0,( )0, 0.tTtF tt
例 例 9
设 ) 1 ( , , ,2 1 n X X Xn 为独立同分布的随机变量，且都服从2(0, ) N ，记 n i X X Y XnXi inii, , 1 , ,11 ，求 ⑴ , 1, ,iDY i n ； ⑵1Y 与nY 的协方差1( , )nCov Y Y ； ⑶若21( )nc Y Y 是2 的无偏估计量，求常数 c . 解 解
⑴21 1 1( ) [(1 ) ] , 1, ,ni i i kk inDY D X X D X X i nn n n . ⑵1Y 与nY 的协方差1 1( , ) ( , )n nCov Y Y Cov X X X X
1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n nCov X X Cov X X Cov X X Cov X X
2 2 2 21 11 1 1 1 1 10 ( , ) ( , )n nCov X X Cov X X DXn n n n n n .
⑶2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ 2 ( , )]n n n n nEc Y Y cE Y Y cD Y Y c DY DY Cov Y Y
2 2 2 2 21 1 2 2 4( )n n nc cn n n n ，故2 4ncn. 例 例 10
某车间有同型号机 200 台，每台机床开动的概率为 0.7，假设各机床开动与否互不影响，开动时每台机床需消耗电能 15kw.
⑴试用切比雪夫不等式估计用电量在 1800~ 2250 kw 间的概率； ⑵ 问 至 少 供 电 多 少 才 可 以 95 ％ 的 概 率 保 证 不 致 因 供 电 不 足 而 影 响 生 产 ？（ (1.645) 0.95 ）
解 解
【切比雪夫不等式、中心极限定理】
⑴机床开动的台数 ~ (200,0.7) X B ， 140 EX ， 42 DX ， 1800 15 2250 120 150 20 140 10 P X P X P X 4220 140 10 1 0.58100P X
⑵由中心极限定理知， X 近似服从 ~ (140,42) X N ， 设供电 a kw 可以 95％的概率保证不致因供电不足而影响生产,则 1401515 ( ) 0.95 (1.645)15 42aaP X a P X 140151.645 226042aa （kw）. 例 例 11
假设某种型号的螺钉的重量是随机变量，期望值为 50 克，标准差为 5 克， ⑴设每 100 个螺钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过 5100 克的概率； ⑵若这样的螺钉装有 500 袋，求 500 袋中最多有 4%的重量超过 5100 克的概率. 已知 (2) 0.9772 ， (2.59) 0.995 . 【⑴ 0.02275 ；⑵ 0.995 】
例 例 12
设总体 X 的分布函数0, 0,,0 1,( ),1 2,, 2,xxF xa xa b x ，其中 , , a b 为常数，且 1 EX . ⑴求 , a b ； ⑵抽取的 n 个样本值1 ,,nx x 中有 k 个 1(1 ) k n ，求 的最大似然估计. 解 解
【参数估计】
⑴由题设知，总体 X 的概率分布为
X
0
1
2
P
2 a
b
1 2 2( ) 2 EX a b a b ， ( ) 1 F a b ，解得 1, 0 a b . ⑵似然函数 ( ) (1 2 ) kn kL ， ln ( ) ln(1 2 ) ( )ln L k n k ， 令2ln ( ) 01 2d k n kLd ，解得2n kn ， 故 的最大似然估计ˆ2n kn . 例 例 13
总体 X 的分布密度2(ln )21e , 0,( )20, 0.xxf xxx 1 ,,nX X 是来自总体 X 的简单随机样本. ⑴求参数 的最大似然估计量 ˆ ；【11ˆ lnniiXn】
⑵求 ˆ 的数学期望.【 】
例 例 14
总体 X ~2(0, ) N ， 1 ,,nX X 是来自总体 X 的简单随机样本. ⑴求常数 , a b ，使得2 2aX bS 服从2 分布，并指出2 分布的自由度； ⑵证明：存在常数 c ，使得121( )niiniic XX X服从 t 分布.
例 例 15
总体 X ~2( , ) N ，参数2, 未知， 6,6,7,8,8 是来自总体 X 的简单随机样本， ⑴求参数 的置信度为 95%的置信区间； ⑵针对原假设0H ：
2 与备择假设1H ：
2 ，作显著性水平为 5%的假设检验. 已知标准正态分布的 2.5%与 5%的上側分位数分别为 1.96 与 1.65；自由度为 4 的 t 分布的2.5%与 5%的上側分位数分别为 2.78 与 2.132；自由度为 4 的2 分布的 95%与 90%的上側分位数分别为 0.711 与 1.064. 解 解
由样本计算得 7, 1 X S
⑴由2 2( ( 1) , ( 1) )S SX t n X t nn n ，其中0.0252( 1) (4) 2.78 t n t ， 的置信度为 0.95 的置信区间是 (5.76,8.24)
⑵检验0H ：
2 ，备择假设1H ：
2 （相当于检验0H ：
2 ，备择假设1H ：
2 ）
统计量2 22 22 2( 1) 42 2n S SS ，
拒绝域2 20.95 (4)0.711 . 由样本得，2 21 0.711 S ，接受0H
附录
近三年真题 07 解答题 1.（07-1-3-4）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 2 ,0 1,0 1,( , )0, .x y x yf x y 其它 ⑴求 2 P X Y ；【724】
⑵求 Z X Y 的概率密度 ( )zf z .【222 , 0 1,( ) (2 ) ,1 2,0, .zz z zf z z zelse 】
2.（07-1-3）设总体 X 的概率密度为1, 0 ,21( , ) , 1,2(1 )0,xf x x 其他，1 ,,nX X 是来自总体X 的简单随机样本. ⑴求参数 的矩估计量ˆ ；【1ˆ22X 】
⑵判断24X 是否为2 的无偏估计量，并说明理由. 【不是，2 24 1(4 )4E X DXn 】
3.（07-4）设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 213P X ， 123P X ， max( , ) U X Y ， min( , ) V X Y . ⑴求 ( , ) U V 的联合概率分布；⑵求 U 与 V 的协方差 ( , ) Cov U V . 【⑴1 21 4/9 02 4/9 1/9U V ；⑵4( , )81Cov U V 】
08 解答题 1.（08-1-3-4）设随机变量 X 和 Y 相互独立， X 的概率分布为 1( 1,0,1)3P X i i ，Y 的概率密度为1, [0,1),( )0, [0,1),Yyf yy 记 Z X Y .
⑴求102P Z X ；【12】
⑵求 Z 的概率分布 ( )Zf z .【1, [ 1,2),( ) 30, [ 1,2).Zxf zx 】
2. （ 08-1-3 ）
设nX X X , , ,2 1 是 来 自 总 体2( , ) N 的 简 单 随 机 样 本 ， 记2 21 11 1, ( )1n ni ii iX X S X Xn n ， 2 21T X Sn . ⑴证 T 是2 的无偏估计量；
⑵当 0, 1 时，求 DT .【2( 1) n n】
3.（08-4）设某企业生产线上产品合格率为 0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为 0.8，其余均为废品，每件合格品获利 80 元，每件废品亏损 20 元，为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元，问企业每天至少生产多少产品？【256】
4.（08-n）设随机变量 X 的概率密度为,0 1,( ) , 1 2,0, ,ax xf x b xelse 且 X 的数学期望1312EX ，⑴求常数 , a b ； ⑵求 X 的分布函数 ( ) F x . 5.（08-n）设二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布为1 0 10 0.1 0.2 02 0.3 0.1 0.3X Y ⑴求 ( , ) X Y 关于 , X Y 的边缘分布；
⑵求 2 P X Y ； ⑶求 0 0 P Y X . 09 解答题 1.（09-1-3）袋中有 1 个红球、 2 个黒球、 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球， X ， Y ， Z 分别表示两次取球所取得的红球、黒球与白球的个数. ⑴求 1 0 P X Z ；【49】
⑵求二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布.【0 1 20 1/4 1/3 1/91 1/6 1/9 02 1/36 0 0X Y 】
2.（09-1）设总体 X 的概率密度为2e , 0,( )0, 0,xx xf xx 其中参数 ( 0) 未知，nX X X , , ,2 1 是来自总体 X 的简单随机样本.. ⑴求参数 的矩估计量；【12ˆX 】
⑵求参数 的最大似然估计量.【22ˆX 】
3.（09-3）设二维随机变量 X 的概率密度为e ,0 ,( , )0, .xy xf x yelse ⑴求条件概率密度 ( )Y Xf y x ；【1,0 ,( )0, .Y Xy xf y x xelse 】
⑵求条件概率 1 1 P X Y .【e 2e 1】
4.（09-n）设随机变量 X 的概率密度为2 , ,( )0, ,x a x bf xelse 且21 EX . ⑴求 , a b 的值；【2 6,2 2a b 】
⑵求 1 P X .【12】
5.（09-n）已知随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X
1
1
P
1/2
1/2
Y
0
1
P
1/4
3/4
且 14P X Y . ⑴求二维随机变量 ( , ) X Y 的概率分布；【0 11 0 1/21 1/4 1/4X Y 】
⑵求 X 与 Y 的相关系数XY .【33 】
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