概率统计A,期末样卷
概率论与数理统计（ Ⅰ）
期末考试样卷4 4
一、填空题(每小题3分，共24分)。
1. 设四个人独立地猜谜语,每个人猜对的概率均为1/4,则此谜语被猜对的概率为
。
2. 设事件A与B独立，且 , ) ( , ) ( q B P p A P 则 ) ( B A P
。
3. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为______
___ 。
4. 设 ~ ( ) X P ，且 ( 1) ( 2) P X P X ，则 ( 1) P X ____
_____。
5. 设随机变量 X 的概率密度为 , ,( ) 0 ,0, ,x a x bf x a b 其他 且22 EX ，则 a __________， b ___________。
6. 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布2(72, 12 ) N ，则考生的外语成绩在60分至84分之间的概率为
。
7. 设二维连续型随机向量 ( , ) X Y 的分布密度为：4 , 0 1,0 1( , )0,xy x yf x y 其他. 则 ( ) p X Y =
。
8. 设 1, 2, 1, 4, 0.6XYEX EY DX DY ，则2(2 1) E X Y = __________。
二、单项选择题(每小题2分，共8分) 1.
设 , , A B C 为三个事件且 , A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（
）. （A）若 ( ) 1 P C ，则 AC 与 BC 也独立；
（B）若 ( ) 1 P C ，则 A C 与 B 也独立； （C）若 ( ) 1 P C ，则 A C 与 A 也独立；
（D）若 C B ，则 A 与 C 也独立. 2. 设 ( ), ( ) f x F x 分别为 X 的密度函数和分布函数，则有 (
) （A）
{ } ( ) P X x f x
（B）
{ } ( ) P X x F x
（C）
0 ( ) 1 f x
（D）
{ } ( ) P X x F x
3.设随机变量2~ (0,2 ) X N ，则 23 1 E X
(
) ( A )
0
(B)
7
(C)
13
(D)
37 4. 设 Y X, 的相关系数 1 XY ，则（
）
（A）
X 与 Y 相互独立；
（B）
X 与 Y 必不相关； （C）存在常数 b a, 使 1 ) ( b aX Y P ； （D）存在常数 b a, 使 1 ) (2 b aX Y P .
三、计算题（共48分）
1. （6 分）甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t<T ) 后离去(每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 ). 求甲、乙两人能会面的概率.
2（8分 分）
某商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，假定各箱中有0，1，2只残次品的概率为0.8，0.1，0.1，一顾客购买时，售货员随机取一箱，而顾客随机察看该箱中的4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回。求：（1）求该顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）求在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率。
3（8分 分）设连续型随机变量 X 的分布函数1 , 0( )0 , 0xBe xF xx 求：
（1）常数 B ；
（2）
) 1 2 ( X P ；
（3）
X 的密度函数 ) (x f 。
4（8分 分）设随机变量 X 服从标准正态分布 (0,1) N ，求23 Y X 的密度函数。
5（8分 分）
.
已知二维随机变量 ) , ( Y X 的联合分布律为:
Y
X 0 1 1 1/2 1/4 2 1/8 1/8 求:(1) X 与 Y 的相关系数 ;
(2) Y X, 是否独立,？并说明理由。
6（10 分）.设 ) , ( Y X 的联合密度函数为(2 3 )
0, 0( , )0
x yAe x yf x y 其他 求：（1）
A 的值；
（2）
( 1, 1) P X Y ；
（3）
( ) P X Y
四、应用题（共14分）
1（8 分）5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 。已知 X 1 ) 225 , 200 ( ~ N ，X ) 240 , 240 ( ~2N ，X3) 225 , 180 ( ~ N ，X4) 265 , 260 ( ~ N ，X 5 ) 270 , 320 ( ~ N ，X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 相互独立。
（1）求5家商店两周的总销售量均值和方差； （2）商店每隔两周进货一次。为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？（Ф(2.33)＝0.99）
2（6分 分）某工厂有200台同类型机器，由于工艺等原因，每台机器实际工作的时间只占全部工作时间的75%，各台机器相互独立，利用中心极限定理求任一时刻有144—160台机器正在工作的概率。 （ (1.71)=0.96, (1.06)=0.86）
五、证明题（6分）
设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为2 1 , 的泊松分布，证明：Z=X+Y服从参数为2 1 的泊松分布。
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