叠加法在变截面梁的变形上的应用

摘要 叠加法是在满足叠加原理的前提下提出的一种简单有效的求解梁的变形的方法。本文将叠加法进行简单阐述，列举出实际生产生活中所面临的具体问题，再应用力学知识进行简单求解，进而明确了叠加法的使用方法。

关键词 叠加法；悬臂梁；转角；挠度

中图分类号O31文献标识码A文章编号 1674-6708（2011）38-0171-02

在材料力学中，叠加法和积分法是两种解决梁变形问题的重要方法。积分法是一种基本的数学方法，通过所列出的弯矩方程，可以确定梁上任一点的挠度和转角，适用范围非常广。但积分法计算繁琐，需列弯矩方程，根据边界条件确定积分常数。若梁上载荷较复杂，求解工作将变得更加困难。因此需要寻求一种更为有效地解决办法。当只需要求解梁上某些特定截面的转角和挠度时，可以通过叠加法进行求解。叠加法的优点在于可在表中查找出几个简单载荷单独作用时的变形，然后针对具体截面，进行叠加。通过简单计算，即可求出具体截面的挠度和转角。

1 简单介绍叠加法

叠加法是基于小变形理论所建立。在材料力学中所提到的小变形指的是微小的弹性变形，求解支反力和分析内力时仍采用变形前的几何形状和尺寸；为线性结构时，认为一种载荷对构件的作用不受其它载荷的影响，此即为叠加法。在本论文中小变形指的是小挠度，因此计算弯矩时仍采用变形前的尺寸。若梁上的应力不超过材料的比例极限，且梁的变形又很小，则可以认为梁上的挠度和转角与载荷成线性关系，即当梁上同时作用几个载荷时，由每一个载荷所引起的梁的变形将不受其他载荷影响，因此可用叠加法来求解梁的变形。叠加各个载荷单独作用时的变形，可得到所求变形。也就是说，叠加法是分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、应变和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移。

2 叠加法在实际生活中的应用

在现实生产生活中，叠加原理无处不自在，尤其是在物理、力学、电学、数学等学科领域更是发挥着不可代替的作用。机械工程中的多数轴类零件，由于其结构、减轻自重、节省材料的要求常将其做成阶梯状，因此对这类机械零件刚度要求非常高，则需计算阶梯轴的变形。在求解此类问题的变形时，叠加法是最有效的方法之一。

3 叠加法在求变截面梁的变形时的应用

3.1 变截面悬臂梁

如图1为所示变截面悬臂梁，求自由端C点的挠度。

3.2 变截面简支梁

如图2所示为变截面简支梁，欲求中点C的挠度，考虑到结构的对称性 ，可知C点转角为零，挠曲线在C点的斜率为零。可将该梁看成是由两段悬臂梁所组成，C为固定端 ，A、B为自由端，A、B两自由端挠度相等，即为实际截面C的挠度，因此用一段悬臂梁叠加计算即可。解法同上题。

综上所述，当求解具体截面变形时，叠加法是一种非常有效的方法。若载荷作用较复杂，一般的方法是将梁简化成简支梁和悬臂梁的受载情况，若梁的截面有变化时，要进行相应截面的刚化。因此熟练使用叠加法，充分发挥其优越性，则在解决工程实际问题的效率大大提高。

参考文献

[1]冯迎辉.叠加法求梁的变形的分析[J].西安航空技术高等专科学校学报，2000，1(3)：35-37.

[2]刘鸿文.材料力学[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[3]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].7版.北京：高等教育出社，2009.

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